محاسبه عددی انتگرال معین به روش ذوزنقه ای

سه شنبه ۱۷ شهریور ۱۳۸۸ ساعت ۱۲:۲۷ مسعود اقدسی فام - لبخند ریاضی

ما در بسیاری از اوقات نیاز به استفاده از روشهای عددی برای محاسبه انتگرال معین داریم. در کاربرد های واقعی عموما انتگرالهای معین در حالتی نیستند که بتوان به روش پادمشتق به محاسبه آنها پرداخت. در اینصورت باید به روشهای عددی متوسل بشویم. در اینجا با روش ذوزنقه ای برای محاسبه عددی انتگرال معین بیشتر آشنا می شویم:
فرض کنید قصد داریم انتگرال معین تابع f(x) را در بازه [a,b] پیدا کنیم. بدون اینکه در کلیت بحث خللی وارد شود فرض می کنیم در این بازه تابع همواره نامنفی است. بازه فوق را به n بخش مساوی افراز می کنیم. نقاط افراز به این ترتیب خواهند بود:

$\normal x_{0}=a,x_{1},...x_{n-1},x_{n}=b$

توجه داشته باشید که برای راحتی کار فاصله بین این نقاط برابر در نظر گرفته شده است. یعنی، $\normal d=\frac{b-a}{n}=\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1};0<i\leq n$ .

حالا به عبارت $\normal S\left( i\right) =\frac{f\left( x_{i}\right) +f(x_{i-1})}{2}\times d;0<i\leq n$ توجه کنید. اگر دقت کنید متوجه می شوید که مقدار $S\left( i\right)$ برابر است با مساحت ذوزنقه ای که در شکل زیر با رنگ خاکستری روشن نمایش داده شده است:

pic۱.JPG

مجموع این $\normal S\left( i\right)$ ها مساحت زیر نمودار را با خطایی معادل قسمتهای خاکستری تیره شکل بالا به ما می دهد. به عبارت دیگر داریم:

$\normal\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{i=1}^{n}S(i)=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{i=1}^{n}\left( \frac{f(x_{i})+f(x_{i-1})}{2}\times d\right)$

هرچه مقدار n به عنوان تعداد تقسیمها بیشتر باشد خطای محاسبه (مساحت سطح خاکستری تیره) کمتر می شود. البته انتخاب مقدار مناسب n به موارد دیگری نیز بستگی دارد.
برنامه های مربوط به این روش محاسبه را به زبانهای C، بیسیک، ++C و پاسکال می توانید از اینجا دانلود کنید.

Quote this article on your site

To create link towards this article on your website,
copy and paste the text below in your page.

ما در بسیاری از اوقات نیاز به استفاده از روشهای عددی برای محاسبه انتگرال معین داریم. در کاربرد های واقعی عموما انتگرالهای معین در حالتی نیستند که بتوان به روش...<div align="right" style="width:350px"><p style="text-align:right;">© 2010 - <a href="http://www.daneshnamah.com/" target="_blank">دانشنامه فارسی اقتصاد - Persian Encyclopedia of Economics</a></p></div></div>

Preview :

محاسبه عددی انتگرال معین به روش ذوزنقه ای
سه شنبه, ۱۷ شهریور ۱۳۸۸
ما در بسیاری از اوقات نیاز به استفاده از روشهای عددی برای محاسبه انتگرال معین داریم. در کاربرد های واقعی عموما انتگرالهای معین در حالتی نیستند که بتوان به روش...

Tags: